Chebyshev 多项式

阐述

第一类 Chebyshev 多项式

$$T_k(x)=\cos(k\theta)=\cos(k\cos^{-1}x)$$

第二类 Chebyshev 多项式

$$U_k(x)\sin\theta=\sin[(n+1)\theta]$$

他们之间具有导数关系：

$$T_k'(x)=kU_{k-1}(x)$$

实例

性质

正交性

第一类 Chebyshev 多项式关于 $1/\sqrt{1-x^2}$ 正交，

$$\int_{-1}^1T_j(x)T_k(x)\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac\pi2\delta_{jk}(1+\delta_{j0})$$

第二类 Chebyshev 多项式关于 $\sqrt{1-x^2}$ 正交

$$\int_{-1}^1U_j(x)U_k(x)\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=\frac\pi2\delta_{jk}$$

光滑函数的多项式逼近

将 $[0,\pi]$ 之间的 Fourier 展开式

$$f(\cos\theta)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos k\theta$$

代换为

$$f(x)=\frac{a_0}2\cdot 1+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos (k\cos^{-1}x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kT_k(x)\approx f_N(x)=\sum_{k=0}^Na_kT_k(x)$$

是一个对光滑函数指数逼近的多项式。

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参考文献